Służbę wojskową rozpoczął w Armii Austro-Węgier 13 lutego 1917 roku w batalionie zapasowym 32 pułku strzelców w Bochni. 17 listopada 1917 zdał tzw. maturę wojenną. W 1918 ukończył Rezerwową Szkołę Oficerską w Opatowie i jako kadet-aspirant, został wcielony do 9. kompanii 32 pułku strzelców we Włoszech.

Podczas wojny polsko-bolszewickiej, pod koniec października 1919 został przeniesiony na front litewsko-białoruski, gdzie we wrześniu został mianowany podchorążym, a w styczniu 1920 otrzymał awans na podporucznika i został mianowany dowódcą kompanii w batalionie szturmowym 6 Dywizji Piechoty. grudnia 1938, z rozkazu szefa Biura Personalnego Ministerstwa Spraw Wojskowych, został przeniesiony na stanowisko komendanta Wojskowej Składnicy Tranzytowej na Westerplatte, którą dowodził do 2 września 1939 roku. W wyniku załamania nerwowego Sucharskiego do momentu kapitulacji 7 września 1939 dowodzenie przejął kapitan Franciszek Dąbrowski. Tego dnia, o godzinie 10:15 major Henryk Sucharski zarządził wywieszenie białej flagi i osobiście udał się do Niemców, aby omówić warunki kapitulacji. Wraz z innymi oficerami został odwieziony do Hotelu Centralnego w Gdańsku. Następnie był przetrzymywany kolejno w obozach Stablack, Riesenburg (Prabuty), w Oflagu IV A Hohenstein, Oflagu II B Arnswalde (Choszczno), Oflagu II D Gross-Born (Borne Sulinowo – Kłomino). W marcu 1945 podczas ewakuacji obozów jenieckich uległ wypadkowi i trafił do szpitala niedaleko Schwerina. Po uwolnieniu, w lipcu 1945 przedostał się do dowództwa 2 Korpusu Polskiego we Włoszech. W styczniu 1946 został przyjęty do służby wojskowej z przydziałem na dowódcę 6 Batalionu Strzelców Karpackich. Od 19 sierpnia przebywał w brytyjskim szpitalu wojskowym w Neapolu, gdzie zmarł 30 sierpnia 1946 na zapalenie otrzewnej. Został pochowany 1 września na Polskim Cmentarzu Wojskowym w Casamassima we Włoszech.